Sea external image img1422.gifSe define a la raíz enésima de a y se denota external image img1423.gif como el número real positivo external image img11.gif que cumple la igualda: external image img1424.gif
Simbólicamente tenemos:
external image img1425.gif

Ejemplo
a.) external image img1426.gif pues external image img1427.gif; en este caso decimos que external image img48.gif es la raíz cúbica de external image img40.gif


Notación

Sea external image img1434.gif
La raíz enésima de external image img10.gif también se denota external image img1435.gif es decir:
external image img1436.gif
Ejemplo
a.)
$;;$
$;;$
La raíz cúbica de external image img40.gif se puede denotar como external image img1437.gif o external image img1438.gif, es decir: external image img1439.gif

Ejemplo
a.) external image img1444.gif pues external image img1445.gif

Sea external image img1434.gif

En la expresión external image img1450.gif
Ejemplo
a.)
$;;$
$;;$
En external image img1451.gif es el índice del radical y external image img1452.gif es el subradical.

Sea external image img1434.gif
Entonces se cumple que:
external image img1457.gif
external image img1458.gif


Demostración:
  1. demostraremos que external image img1459.gif
Sea external image img1460.gif, entonces, por definición external image img1461.gif
Así:
external image img1462.gif
>
  • O sea; external image img1459.gif
  1. demostraremos que external image img1463.gif
Sea external image img1464.gif, entonces, por definición external image img1465.gif
Así:
>
  • external image img1466.gif
O sea; external image img1463.gif
Observación

De los resultados anteriores se obtiene que:
Si external image img1467.gif entonces: external image img1468.gif

Ejemplo

Escriba en notación decimal la raíz cuarta de external image img1456.gif


Solución

factoricemos external image img1456.gif
external image imagen%2021a.gif

De aquí se tiene que external image img1469.gif,
por lo que: external image img1470.gif,
o sea; la raíz cuarta de external image img1456.gif es external image img39.gif.












Ejercicios

Escriba en notación decimal el número correspondiente a cada una de las siguientes expresiones:

1.)external image img1479.gif
2.)external image img1480.gif
3.) external image img1481.gif

Hasta ésta parte de nuestro trabajo, hemos trabajado con radicales en donde el subradical es un número real positivo, la siguiente difinición extiende el concepto de raíz enénesima, al caso en el que el subradical es un número real negativo, para esto, es necesario imponer algunas condiciones al indice del radical.

Sea external image img1482.gif impar.
Se define la raíz enésima de external image img10.gif y se denota external image img1483.gif, como el número real negativo: external image img11.gif que cumple la igualdad external image img1484.gif.
Simbólicamente tenemos:

external image img1485.gif
external image img1486.gif

Ejemplo
a.)external image img1487.gif
pues
external image img1488.gif



b.)external image img1489.gif
pues
external image img1490.gif



c.)external image img1491.gif
pues
external image img1492.gif

Observación importante: Si external image img532.gif es un número natural par entonces: La raíz enésima de un número real negativo NO está definida en el conjunto de los números reales.
Simbólicamente tenemos:
Si external image img1493.gif par y si external image img1494.gif entonces: external image img1495.gif
Ejemplo

external image img1496.gif
En efecto, supongamos que existe un número real external image img11.gif tal que: external image img1497.gif, entonces debe cumplirse que external image img1498.gif.

De aquí se observa que esta igualdad nunca es cierta pues: external image img1499.gif es positivo y external image img1500.gif es negativo.

Por lo tanto: external image img1496.gif

En forma similar se puede demostrar que:

external image img1501.gif no están definidas en el conjunto de los números reales.








Ejemplo
a.)external image img1518.gif

external image img1519.gif

external image img1520.gifo sea; external image img1521.gif
=
external image img1522.gif







b.)external image img1523.gif

external image img1524.gif

external image img1520.gifo sea; external image img1525.gif
=
external image img1522.gif







c.)external image img1526.gifexternal image img1526.gif

external image img1527.gif

external image img1528.gifo sea; external image img1529.gif
=
external image img1530.gif
























!Cuidado
No siempre se cumple que: external image img1543.gif

Por ejemplo, observe que:external image img1544.gif pues external image img1545.gif si está definida en external image img94.gif
external image img1546.gif

pero
$ displaystyle{ sqrt{-4}} $
$ displaystyle{ sqrt{-4}} $
y external image img1548.gif NO
$;;;$
$;;;$
representan números reales.